پژوهش – شناسایی موقعیت و شکل اجسام فلزی دوبعدی به کمک روش تنظیم سطح- قسمت ۳

پایان نامه های ارشد سری شانزدهم

(۳-۸)
در رابطه (۳-۷)،  بردار سرعت و جهت حرکت آن عمود بر منحنی در مختصات x,y مشخص است. بنابراین:
(۳-۹)
بنابراین شکل نهایی معادله (۳-۸) به صورت زیر خواهد شد:
(۳-۱۰)
معادله (۳-۱۰) از دسته معادلات همیلتون_ ژاکوبی است که شکل کلی آنها به صورت زیر است:[۱۳]
(۳-۱۱)
با مقایسه روابط (۳-۱۰) و (۳-۱۱) پی میبریم که معادله (۳-۱۰) معادله دیفرانسیل همیلتون-ژاکوبی دو بعدی بهازای  است و تابع همیلتونیان آن به شکل زیر است:
(۳-۱۲) 

برای دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت  pipaf.ir  مراجعه نمایید.

حل معادله همیلتون-ژاکوبی

حل این معادله به کمک تفاضل محدود[۴۲] و با رابطه زیر امکانپذیر است. توضیح چگونگی رسیدن به این رابطه در [۱۱] و [۱۳] بهطور کامل بیان شده است. برای حالت تقریب مرتبه اول رابطه (۳-۱۳) پیاده میشود. با فرض این که در  ،  به ترتیب شماره سلول  در صفحه مختصات و  نمایشگر گام زمانی  ام است.[۱۳]
(۳-۱۳)
که در این رابطه:[۱۳]
(۳-۱۴)
(۳-۱۵)
در روابط بالا  بهترتیب تقریب مرتبه اول مشتق  از چپ و از راست است:[۱۳]
(۳-۱۶)
(۳-۱۷)
روابط مشابه برای  نیز به کمک الگوی بالا برقرار است.
برای تقریب مرتبه دوم مکانی، روابط به صورت زیر تغییر مییابد:[۱۳]
(۳-۱۸)
(۳-۱۹)
که در آنها:[۱۳]
(۳-۲۰)
(۳-۲۱)
(۳-۲۲)
(۳-۲۳)
در روابط بالا  تابع سویچ[۴۳] نام دارد و مطابق زیر تعریف میشود:[۱۳]
(۳-۲۴)
در روابط بالا  از روابط زیر بدست میآید:
(۳-۲۵)
(۳-۲۶)
(۳-۲۷)
تقریبهای بالاتر را با تعمیم روابط اخیر میتوان بدست آورد.[۱۳]

شرط پایداری

شرط پایداری معادله (۳-۱۳) با اعمال شرط CFL (کورانت، فردریش، لویی)[۴۴] ارضا میشود. قانونی که بیان میکند: سرعت جابهجایی منحنی سطح صفر تابع تنظیم سطح (  ) نباید از مقدار عددی سرعت موج یا همان  یا  بیشتر باشد. این شرط به ما کمک میکند که در حل معادله به روش تفاضل محدود، گام زمانی را مناسب انتخاب کنیم. برای تعیین گام زمانی مناسب از رابطه زیر کمک میگیریم.
(۳-۲۸)
(۳-۲۹)
در رابطه اخیر مقدار  عددی بین صفر و یک است تا شرط پایداری رابطه (۳-۲۸) ارضا شود.  مقداری مناسب برای تعیین گام زمانی است. در صورتی که بخواهیم اطمینان بیشتری از پایداری در طول پروسه حل داشته باشیم قرار میدهیم  . تعیین  کمتر پایداری را بیشتر و زمان رسیدن به جواب را طولانیتر میکند.[۱۱]

شرایط مرزی محیط محاسبه